Anachronique: Burj Dubaï a inspiré Ératosthène

Les informations nous annoncent que la Tour Burj Dubaï va être inaugurée après avoir coûté 1 milliard de dollars et 22 millions d'heures de travail (12 millénaires de 35 heures). Ses 828 m de haut seront visibles à 95 km à la ronde, soit un peu plus qu'un Paris-Chartres et un peu moins qu'un Paris-Soissons.

On va vérifier ce chiffre de 95 km. La méthode inspirée d'Ératosthène aurait pu lui être utile aussi. Ce grec a été le premier mathématicien à calculer la circonférence de la Terre grâce à un calcul d'ombres.

Voici le schéma :

• A est le centre de la Terre
• B est le sommet de la tour
• C est un point tangent sur l'horizon
• D est le pied de la tour
• H est la hauteur de la tour (828 m)
• R est le rayon moyen de la Terre (6 371 000 m)

Au point C, le sommet de la tour apparaît confondu avec l'horizon. L'angle ACB est droit. En appliquant le théorème de Pythagore, on déduit la longueur CB. A l'aide d'un calcul avec la fonction ArcTangente, on déduit l'angle alpha en radian. En multipliant par R, on obtient la longueur de l'arc de cercle CD, et donc la distance maximale d'où on peut voir la tour.

En supposant la Terre sphérique, on a :

Avec les valeurs indiquées précédemment, nous avons :

CD = 102709,461525 m

Pour avoir un calcul plus simple mais plus approximatif, on peut dire que le ratio H/R est quasi nul (10^-4). Par conséquent, on peut éliminer le terme au carré lorsqu'on ramène 1/R dans la racine carrée. On ne peut pas supprimer plus, car il faut laisser le terme H quelque part.

Avec la nouvelle formule, on peut estimer la distance de visibilité à environ 102706,125135 m.

Voilà notre calcul simplifié. Mais on peut encore faire mieux sachant qu'on peut assimiler arctan(x) à x au voisinage de zéro. Ca nous évite de calculer arctan() tout en sachant que c'est impossible à la main.

Ceci nous amène donc à Ératosthène.

Nouvelles notations :

• D est la distance où on voit la tour à sa limite
• T est la circonférence de la Terre (formule du périmètre du cercle)

Notre tour de 828 m de haut a une visibilité de 100 km selon Ératosthène. Sortons les calculettes :

T = 37941940 mètres.

On retrouve bien nos 40.000 km de circonférence avec une formule simple pour écoliers en herbe ! En divisant par 2xPi, on en déduit même le rayon de la Terre !

Avouons tout de même qu'on a eu de la chance que la tour soit si gigantesque. Ératosthène aurait essayé avec les Pyramides d'Égypte (146 m pour la plus grande à l'époque), l'erreur de calcul aurait été plus importante.

Pour ceux qui ont réussi à suivre ces calculs de classe de sixième (Pythagore) ou de Terminale Scientifique, vous avez le droit de voir la vidéo à son sommet.

Posté par admin le 6 janvier 2010 à 18:28 - Sciences
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